理发师悖论

理髮师悖论又称为罗素悖论，是由伯特兰·罗素在1901年提出的。它的出现是由於朴素集合论对於元素的不加限制的定义。由於当时集合论以称为数学理论的基础，这一悖论的出现直接导致了第三次数学危机，也引发了众多的数学家对这一问题的补救，最终形成了现在的公理化集合论。同时，罗素悖论的出现促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性。


一个城市里唯一的理髮师只给所有不给自己理髮的人理髮。这个城市不可能存在，因为：
如果理髮师不给自己理髮，他需要遵守规则，给自己理髮
如果理髮师给自己理髮，如遵守规则，他不准给自己理髮
换用集合语言：
可以把集合分为两类，凡不以自身为元素的集合称为第一类集合；凡以自身作为元素的集合称为第二类集合。显然每个集合或为第一类集合或为第二类集合。设为第一类集合的全体组成的集合。
如果是第一类集合，由集合的定义知:应该是的元素，这表明是第二类集合
如果是第二类集合，那么是它自身的元素
二者皆导出矛盾，而整个讨论逻辑上是没有问题的。问题只能出现在集合的定义上。


由於罗素悖论的出现所引发的第三次数学危机，公理化集合论势在必行。德国数理逻辑学家策梅洛（Zermelo，1871年-1953年）应用自己的公理系统，使得集合在公理的限制下不会太大，从而避免了罗素悖论。经过改进，这一系统形成了现在被称为ZF系统的公理集合论体系。这个体系至今没有发现悖论。