博弈均衡

均衡是平衡的意思，在经济学中，均衡意即相关量处于稳定值。在供求关系中，某一商品市场如果在某一价格下，想以此价格买此商品的人均能买到，而想卖的人均能卖出，此时我们就说，该商品的供求达到了均衡。

博弈均衡是指使博弈各方实现各自认为的最大效用，即实现各方对博弈结果的满意，使各方实际得到的效用和满意程度是不同的。在博弈均衡中，所有参与者都不想改变自己的策略的这样一种相对静止的状态。

博弈各方的关系不仅体现一种利益上的竞争，更要体现出各方的合作关系。比如，企业间通过收购、兼并等方法进行资产重组，以实现其双赢战略，正是博弈均衡的现实体现。博弈实质上是由动态的竞争（讨价还价）到相对静态的合作”博弈均衡“的一个变动过程，所以博弈均衡不仅是市场竞争的需要，也是企业发展的内在要求。

著名经济学家马歇尔早就说过，经济学有两大研究路径：一是沿着来源于经典牛顿力学的均衡思想；一是沿着来源于生态学的演化思想。纵观经济学的发展历史可以看出这两种思路一直在此起彼伏地斗争着。1890年马歇尔出版了标志着新古典经济学形成的《经济学原理》[1]一书后，均衡思想占据了统治地位，成为经济学家研究的主要方法。运用数学领域的“不动点定理”证明纳什均衡(Nash 1951)[2]的存在性，使得纳什成为第一个用不动点定理于经济学研究的经济学家，他因此获得了1994年的诺贝尔经济学奖；此后，经济学家德布鲁(Debru 1954)[3]应用“不动点定理”证明了一般均衡的存在而获得了1983年的诺贝尔经济学奖，他们的工作把均衡思想推向了高潮。物理学的中均衡就是不动，其前提条件就是：物理学中的变量多数是可以控制的，并且一般是与时间无关的。但运用均衡思想来研究在时间上不满足可逆性的社会人行为就显得有点牵强附会了，为了迎合均衡思想，经济学家给参与人附加如理性、完全信息等不切实际的假定，使得经济学离现实越来越远了，这正是理性框架下难以得到合理结论的一个主要原因。随着经典博弈理论、生态理论及心理学理论研究的深入发展，特别是心理学家西蒙把其在心理学领域研究的成果直接应用经济分析并因此获得了诺贝尔经济学奖，极大地激励着经济及社会学家从现实人行为出发来解释经济及社会现象，2002年诺贝尔经济学奖授予给丹尼尔·卡内曼标志着经济学的研究对象从传统的“经济人”转向现实的“社会人”，从现实社会人出发的演化经济学、进化博弈理论等获得了迅速发展，从均衡思想的演化来看，越来越多经济学家把注意力转向了进化稳定策略(Maynard Smith, J. and Price. G. R(1973))[4]与随机稳定状态(Foster and Young 1990)[5]等的研究、从短期均衡转向了长期稳定性研究，所用的均衡概念从纳什均衡到进化稳定均衡再到了随机稳定性，从理想化的世界慢慢地转向了现实世界。

非合作博弈理论中最基本的均衡概念就是纳什均衡，它只能描述均衡点的局部静态性质；进化博弈理论基本均衡概念就是进化稳定策略，它是也是一个静态概念，但可以描述系统的局部动态性质；进化博弈理论另一个重要概念就是随机稳定状态，它是一个动态概念，能够描述系统的全局动态性质。与前两者不同，随机稳定状态并不是不动的，它只能描述系统的一种长期行为，从长期来看，系统在随机因素影响下绝大多数时间都处于某个均衡，下面分别阐述三个概念。

非合作博弈论研究面对利益冲突的个体互动时，参与人的策略反应。给定利益冲突每一个参与人必须从既定的选择集中作出选择。在博弈论中选择就是策略，选择集就是策略集。每一个参与对选择集中的各个策略都有既定的偏好，所有参与人的选择决定了博弈的结果。
博弈论关心的问题之一是：面对特定博弈，其解是什么？博弈论的最重要的解就是由博弈论理论家Nash(1951)在研究非合作博弈问题时提出来的纳什均衡。所谓纳什均衡策略是一个策略组合，是指在其他参与人选择一定的条件下，每一个参与人都选择获得最大支付的策略，换句话说，纳什均衡状态就是任何单独偏离不会得到改善的一种状态。下面给出纳什均衡的正式定义（张维迎《博弈论与信息经济学》1994，P69）[6]：
定义：有 个参与人的战略表示式博弈 ，策略组合 是一个纳什均衡，对每一个参与人 ， 都是给定其他参与人选择 时第 个参与人的最优选择。
其实在求解纳什均衡时，就是解联立的偏微分方程组。显然，纳什均衡是一个局部最优而非全局最优均衡概念，因此，纳什均衡并不能保证就是支付最高的不动点[1]。由此便引出了帕累托效率均衡：没有所有参与人都得到更高支付的其他选择的均衡就是帕累托效率均衡，用数学语言来描述（Menasché.D.S. et. al. (2005)）

博弈论关心的问题之二是：参与人是如何进行策略选择的，为什么会选择纳什均衡策略？非合作博弈理论假定参与人是完全理性的，在处理动态博弈时，还要求参与人满足序贯理性[2]这一比理性更强的要求。在如此强的假定下，参与人会对世界的任何变化都会作出最优反应，因此，如果存在均衡，那么参与人总会选择均衡策略，但在处理多重要均衡问题时，由于参与人难以推测对方的反应，因此，无法在多重均衡之间进行选择，尽管博弈论理论对此进行了广泛而深入的研究，但正如Ken Binmore在给Weibull(1995)[8]的“evolutionary game theory”一书作的序言中指出：“However different game theorists proposed so many different rationality definitions the available set of refinements of Nash equilibrium became embarrassingly large, Eventually almost any Nash equilibrium could be justified in terms of someone or other’s refinement”。有关纳什均衡算法可参阅王则柯，李杰（2005）[9]。

进化稳定策略这一进化博弈理论的基本均衡概念是由生态学家Maynard Smith, J. and Price. G. R(1973)在研究生态现象演化时提出来的。原初定义（见张良桥2003）[10]有许多限制条件如对称博弈、孤立的随机冲击、参与人数目无限多等等。尽管许多理论家从不同的方面对此概念进行了拓展，但他们提出的原初概念却能够很好表达出进化稳定策略的含义。下面先给出Maynard Smith and Price（1973）的原初定义，然后，我们给出一种计算博弈进化稳定策略的方法。
设 是 矩阵，由于是对称博弈，因此可以用第一个参与人的支付矩阵来描述整个博弈，其中 表示策略 者与策略 者博弈时，策略 者所得的支付。概率向量（也就是混合策略） ，其中 。
说策略 是进化稳定的，如果满足：

并且，对 ，若有 ，那么就要满足：

条件（4）说明了进化稳定策略一定是纳什均衡策略，条件（5）说明弱纳什均衡策略必须要满足的附加条件。显然，在对称博弈中，严格纳什均衡策略一定是进化稳定策略。

直观含义：首先，我们可以看出所有进化策略都是纳什均衡策略，所进化稳定策略集是纳什均衡策略集的子集，非纳什均衡策略就不是进化稳定策略；其次，由定义中的两个条件可以得出，稳定策略者与稳定策略者群体博弈时，突变策略者不会比稳定策略者好；如果突变策略者与稳定策略者一样好，那么，突变者策略与突变策略群体博弈时，就没有稳定策略者与突变策略群体博弈时好。也就是说，稳定策略具有对少数突变者的免疫力，在稳定状态时，突变者是不容易侵入的。

计算进化稳定策略的方法主要有两大类：一是从动态过程出发，求出系统的平衡点，然后，再根据进化稳定策略的定义进行验证就可以了；另一种方法就是直接用进化稳定策略定义来求。第一种方法涉及到具体的动态过程，并且只要知道动态过程就很容易求出进化稳定策略，本文略（可以参考张良桥2001）[11]。第二种方法就是通过定义来求，下面给出一种简单的处理方法。

根据纳什均衡的定义可以知道，如果策略 是博弈的纳什均衡，那么，所有以正概率进入最优混合策略的纯策略都是最优的，参与人在所有这些纯策略所得的支付都是无差异的（见《博弈论与信息经济学》102-103页，张维迎），即有：

表示混合策略中非零概率的纯策略。假定存在 且下标为 的纯策略满足 ，令B是矩阵A中对应于非零纯策略的 阶子矩阵。且令C为 矩阵，其中代表元素为： 。那么当且仅当C是负定的， 就是进化稳定策略(见John Haigh 1974)[12]。

证明：假定 ，并且存在 ，有 ，那么很明显有 ，其中 是第 个纯策略，即在与稳定策略者群体博弈时，突变策略者得到的支付比稳定策略者还要大，所以策略 不是进化稳定策略，所以式（6）是进化稳定策略的必要条件。因此，对应于非零概率的纯策略满足： ，对满足条件的策略 有（注意 ）：

对任意 ，当且仅当

有： 。综上所述，利用该方法来求进化稳定策略的步骤如下：

首先，令 个非零混合策略，然后解 个方程： ，定义B，C再考察矩阵C的所有特征根是否都为负，若都是负则所得的策略就是进化稳定策略。

如求对称博弈 ，它有两个进化稳定策略： 。

如果某策略组合是严格纳什均衡策略，那么就可以直接得出它就是进化稳定策略，但如果是弱纳什均衡策略，那么就可运用上述的方法来进行判定。由此，可得到求博弈的进化稳定策略步骤：一是求出博弈所有的纳什均衡；二是由支付判断出其中的严格纳什均衡；三对非严格纳什均衡而言就代入上述方程，并判断是否为负定即可以求出博弈中所有进化稳定策略。

2.3  随机稳定状态思想及其内涵

Maynard Smith, J. and Price. G. R(1973)提出的进化稳定策略概念要求突变因素不连续且不重叠，它只能描述在单个随机因素影响下任何偏离均衡状态的行为都会随着时间的演化自动回复到原来的进化稳定状态。现实中，经济系统常常会受到来自突变和其他偶然事件的冲击，这些因素可能会对系统产生不可忽略的影响，Foster and Young（1990)认为，首先，原初ESS概念把影响系统的因素都看成是一个个孤立的事件，假定一个因素的影响消失以后，再考虑另一个因素对系统的影响，而在现实中系统常常会受到连续的随机冲击。事实上，现实中出现上述情况纯属偶然现象，一个只能处理偶然现象的理论是没有任何存在价值，尽管单个随机因素对动态系统的影响较少，但它们却可能对系统产生累积作用而定量地改变系统的稳定性，使得系统离开进化稳定状态，系统什么时候回复到当初的进化稳定状态，依赖于动态过程的全局结构；其次，原初ESS定义是一个局部概念，因此在考虑随机冲击时就不能作为判断系统稳定性的标准；再次，由于系统的极限行为依赖于初始条件，同时在吸引子集合中只有一部分状态是随机稳定的，且随机稳定状态的选择还依赖于随机过程特定的结构，因此，ESS和没有充分地考虑到随机因素对进化系统影响的吸引子（Attractor）在描述随机系统的稳定性时都不理想。

 2.3.1  随机稳定状态的定义

一般的进化模型中参与人都是选择那些相对于群体分布的最优反应策略，群体分布随着时间的演化而为不断变化的，这是一种奈特不确定性，并且在这种动态下，系统一定会收敛到协调博弈的严格纳什均衡，偶尔也可能出现极限环的情况，运用进化稳定策略概念依然无法在严格纳什均衡之间作出选择。Young(1990)首次把影响系统的随机因素纳入到进化模型之中并提出了既不同于传统ESS也不同于吸引子（Attractor）的随机稳定性（Stochastic Stability）概念，把均衡选择问题转变成不同均衡的吸引域宽度比较问题，有最宽吸引域的均衡就是随机稳定状态。随机稳定状态的定义如下：

定义：群体向量 是随机稳定的，如果随着随机影响 ，极限密度对 的每一个小邻域都赋有正概率；更准确地说：   其中 。其中 是当 时， 的极限分布， 表示随机因素对系统所产生的影响。

粗略地说，一个状态P是一个随机稳定的，如果在长期中，随着随机冲击因素影响的不断变少，系统几乎一定（nearly certain）不会离开P的任意少的邻域。随机稳定的群体向量总是存在的，它有如下性质：随着 及 ，它是一个最小闭集。根据上述定义，随机稳定状态与系统所定义的动态有关，如果是支付单调动态并且有不变突变率，随机稳定状态直接由吸引域的宽度确定（参阅Young(1993)[13]; Michihiro Kandori, Greorge J,. Mailath, Rafael Rob (KMR)1993[14]; Glenn Ellison2000）[15]。

2.3.2  随机稳定状态的算法
随机稳定状态是描述系统长期行为且由概率来定义的。如果系统是连续情形，那么可根据Foster and Young(1990)通过求系统随机潜力的方法来求随机稳定状态，即有最小随机潜力的状态就是随机稳定状态。而现实中，多数情况都是离散的，下面将根据Freidlin, M. I and Wentzell, A . D. (1984)[16]的方法来给出有多个常返状态情形下随机潜力的计算方法。该方法首先要求每个参与人在任何状态任何时候都以相同且不为零的突变率选择其他任何策略，这样就可以保证系统的遍历性，从而存在平稳分布。假定系统有五个状态，并且每两个状态之间的阻抗（左图中箭头上的数字表示从一个状态到另一个状态的阻抗，右图是根据左图计算出来的）：
状态之间没有标明数字就说明阻抗是无限大（其中的阻抗是根据突变率 的指数来确定的），由上右表可以求出转移概率（因为我们只是为了求各个常返状态的阻抗，没有写出转移概率）。显然：该系统有四个常返状态。 ， ， ， ，则不同常返状态之间的最小阻抗为（实际已经找到了常返状态之间的最短路径）
四个常返状态对应的随机潜力分别为 1   5   3   6。因此，该动态系统的随机稳定状态就是具有最小随机潜力的状态即为 。本例中直接给出各箭头旁边的数字，其目的是为了使问题简化，实际上它表示从一个状态到另一个状态的阻抗，在解决实际问题时，需要具体分析；另外，此例没有深入到突变产生的过程中去，突变率的不同系统的随机稳定状态就不同。^[1]