森的帕累托自由不可能性定理

森的帕累托自由不可能性定理指出： 弱帕累托标准与个人自由主义可能会出现不一致，这一方面说明了帕累托标准是有缺陷的，它只考虑有关状态之间效率方面的差别，而忽视了这些状态所引起的个人效用之间的冲突；另一方面也说明了：进行社会排序，除了考虑一些合理化的条件而外，还需要考虑个人自由等问题，因为，“……，有一些选择是纯粹个人性质的，比如，状态(x)指社会中其他所有的事情为Ω，A先生睡觉时仰卧，状态(y)指社会中其他所有的事情为Ω，A先生睡觉时伏卧。假如A先生偏好y胜于x，而其他许多人的偏好却相反。那么，可以认为，x和y之间的社会选择是纯粹个人的事情，因为A先生是仅有的一个‘真正’涉及到的人，其他的人都只是‘爱管闲事的人’。也可以认为，可以选择一个这样的集体选择规则，在这个纯粹‘个人性质的’选择中，A先生的偏好应当被社会偏好准确地反映出来。”(Sen，1970)正是基于这一点，森强调，人们应该重视研究个人权利等问题对于社会排序的影响。而新福利经济学以及新福利经济学之前的福利经济学研究都自觉不自觉地回避了这些问题。
森(1970)发现，帕累托标准与自由主义是不相容的。帕累托最优是经济学家和其他社会科学家用来衡量社会效率最常用、最普遍、甚至是唯一的指标，它指的是这样一种状态，即大家都好得不能再好，没有一个人可以在不损害他人福利的前提下使自己的福利得以改善，而个人自由原则又是人类不懈的追求，二者都是人们直觉上能够完全接受的标准。但是，森的研究表明，这两个如此诱人的标准却是矛盾的和无法同时成立的。 

森的定理是建立在三个基本前提假定之上：
1、无限制区域原理；
2、帕累托原则；
3、最小自由原则，即社会应当赋予至少两个人各自在至少一对社会状态之间有选择权，如果他认为甲比乙好，社会不应干涉而应认同。
用森的话说就是，如果你想趴着睡而不想躺着睡，社会应当认可。但是，森的证明，对于二人以上的社会，不存在同时满足上述三个条件的社会选择函数。因为，帕累托最优与最小自由原则结合在一起，会出现与阿罗不可能性定理所揭示的孔多塞投票悖论类似的循环性结果。 

森关于帕累托自由的这一不可能性定理可以准确地表述为：满足下列条件的集体决策规则是不存在的。
1.排序的理性条件：排序具有自反性、相关性，而且偏好关系是不循环的。自反性是指：对于任意一个选择x都有xRx，即任何选择都至少和自身一样好。相关性是指：对于任意两种选择必有xRy或者yRx或者二者兼有。
2.弱帕累托标准：对于任意的选择x和y，如果所有人i都认为xPiy，那么对于社会而言也有xPy。
3.最低限度的自由主义：存在两个非空、不相交的子集L1和L2，对于两组不同的选择(a，b)和(c，d)，如果L1中的所有人认为 a好于b，则对于社会而言也有a好于b；如果L1中的所有人认为b好于a，则对于社会而言也有b好于a。同样的，如果L2中的所有人认为c好于d，则对于社会而言也有c好于d；如果L2中的所有人认为d好于c，则对于社会而言也有d好于c。即两组人分别对两组选择具有决定性。任何人都有自由做他喜欢做的事，即有一些选择完全是个人的，个人的某些偏好不应该受其他人的影响。
现在有一本书，比如《查特莱夫人的情人》，有两个人A和B，他们对这本书的看法不同。有三种选择：A读这本书(x)，B读这本书 (y)，谁都不读(z)。如果A是一位假正经，他希望最好谁也别读，但是如果一定要有人读的话，那就最好自己读，以免幼稚的B受到坏影响。因此，A的偏好排序是：zPxPy。如果B认为大家应该读这本书，而且A应该首先读，那么，B的偏好排序是：xPyPz。根据自由主义的原则，对于x和z，A应该有选择的自由，A的偏好是决定性的，因此，社会的偏好排序应该是zPx。同样，对于y和z，B的偏好是决定性的，因此，社会的偏好排序应该是yPz。这样，根据传递性，社会应该偏好y胜于x。但是，根据弱帕累托标准，社会对x和y的偏好应该是x胜于y，因为A和B都偏好x胜于y。这样，帕累托标准和自由主义是不相容的。^[1]
如何走出森的悖论，缪勒在《公共选择理论》中提出了两种解决方法，一是让帕累托原则在某些情形中遵从自由权利；二是通过帕累托交易。正如缪勒所指出的，上述矩阵类似于博弈论中著名的囚徒困境状态的帕累托劣等结果是由于每个人独立行使他自己的权利而不考虑对别人的损害这类外部性。