生日悖论

理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如23个人可以产生C(23,2)= 23 × 22/2 = 253 种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。

换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是五十五十了，而是变得非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。

不计特殊的年月，如闰二月。先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么
第一个人的生日是 365选365
第二个人的生日是 365选364
第三个人的生日是 365选363
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第n个人的生日是 365选365-(n-1)
所以所有人生日都不相同的概率是：
(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×(365-n+1/365)
那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：
1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×(365-n+1/365)
所以当n=23的时候，概率为0.507
当n=100的时候，概率为0.9999996

生日悖论可以用计算机代码经验性模拟：

days := 365;
numPeople := 1;
prob := 0.0;
while prob < 0.5 begin
numPeople := numPeople + 1;
prob := 1 - ((1-prob) * (days-(numPeople-1)) / days);
print "Number of people: " + numPeople;
print "Prob. of same birthday: " + prob;

此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同，相差1天，2天等的概率大于50％ 。这是个更难的问题需要用到容斥原理。结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊：

2人生日相差k天 #需要的人数
0                        23
1                        14
2                        11
3                        9
4                        8
5                        7
7                        6

只需要随机抽取6个人，找到两个人生日相差一周以内的概率就会超过50%。

生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次。这一结论被应用到破解cryptographic hash function的生日攻击中。生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。^[1]