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钱包悖论

含义

钱包悖论,又称钱包游戏,是概率论中的一个悖论

内容

 A和B两人进行一场赌博

赌法是:由第三者计算A、B二君钱包里面的钱,钱少者可以赢走钱多者的钱。

A对于这场赌博的想法为:若B君的钱比我少,我可能输掉我现有的钱。但若B君的钱比我多,我赢了,就会得到多于我现有的钱。我能够赢的钱比输的钱多,所以这场赌博对我有利。

而B的想法也是如此。

二人想法的逻辑都正确,但若认为二人的想法都正确,又将做出这场赌博对A、B二人都有利的错误结论。这显然是一个悖论。 

来源

钱包悖论源自法国数学家莫里斯·克莱特契克,在他的《数学消遣》书中赌的是领带而非钱.“有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人,让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想:我知道我的领带值多少。我也许会失去它,可是我也可能赢得一条更好的领带,所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢?”

分析
克莱特契克的分析

 
克莱特契克在他的书中指明必须限制条件,这才是一场公平的游戏,例如A,B二人对对方穿领带的习惯一无所知等。   

他还假定每一个比赛者带有从0到任意数量(比如说一百元)的钱。以此假定构成两人钱数的矩阵,就可看出这个此赛是“对称的”,不会偏向任何一方。   

但他没有指出两个比赛者的想法错在哪里。

考虑胜算

其实问题就在A,B二人只以“可以赢更多的钱”这点,就做出这场赌博对自己有利的结论,当然是错误的。显然是缺乏思考,对客观事物的复杂程度缺乏认识,才会做出如此乐观的结论。   

这场赌博对谁有利的考虑谁可以赢得这场赌博。而不是以“可以赢更多的钱”来判断。   

若以谁有胜算来判断,必须注意二点:   

必须计算期望值。 “钱包里有多少钱”是很随机的。无法有一定的标准。难以论定这场赌博的胜负,但若将“所有人类的钱包里的钱”相加后除以全人类数目,还是可以得出一个平均值。 若钱包里的钱比平均值小,那胜算比较大,反之较小。各国家,各地区人的钱包里的平均值都不一样,全人类太广泛,以国家,地区来分更加有胜算。   

但就算是费很大力气来得到这平均值,还是很难确定有胜算的。由此可见A,B二人认为这场赌博对自己有利的结论是做得多么轻易,缺乏思考。   

其实最有胜算的方法是知道对方的钱包里有多少钱。

另一种分析

钱包只有二个,所以钱包里的钱只存在二个数:   

X,Y,设X>Y。   

A有1/2机会是X,1/2机会是Y;B也如是。   

如果A的钱是Y,则赢得X;如果A的钱是X,则输掉X;B也如是。   

结论:1/2机会赢,1/2机会输。   

而A,B想法的问题出在,他们假设了3个数:   

设A有X元,B有Y元,(Y<X)或Z元,(Z>X)。   

但实际上只存在2个数,所以这是错误的论证,推理出错误的结论。

现实例子

最常见的就是在赌博时,期待“如果赢的话、会赢得比输得更多”。例如玩吃角子老虎机时认为“就算只中樱桃,也是翻五倍!”但问题在于未必会中奖。

伪学术·钱包悖论

悖论这类东西非常有趣,最近在wiki上看到几个以前没有见过的,自己略微想了想,有些意义不大,纯粹是古希腊人概念之争。马上要谈及的钱包悖论和上次的双信封悖论的问题表述略有相似,但产生悖论的原因不同,还是比较有意思的。

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