阿罗的不可能定理

阿罗不可能定理（Arrow'simpossibilitytheorem，阿罗的不可能性定理）

阿罗不可能性定理是指：如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。定理是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思·J·阿罗提出。

1951年肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow)在他的现在已经成为经济学经典著作的《社会选择与个人价值》一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是——不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。 

阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。

阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候， 波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算， 阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念 在此之前． 阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。

后来， 阿罗考上研究生．在哈罗德·霍特林（Harold Hotelling) 的指导下攻读数理经济学 他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地 就拿消费者的最优决策来说吧，消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组台、这正好与逻辑学上的排序概念吻台。又如厂商理论总是假设厂商追求利润最大化， 当考虑时间因素时，因为将来的价格是未知的厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。我们知道、现代经济中的企业一般是由许多股东所共同拥有100个股东对将来的价格可能有100种不同的期望，相应地根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便有100种方案。那末，问题如何解决呢?一个自然的办法是由股东（按其占有股份多少）进行投票表决， 得票最多的方案获胜这又是一个排序问题阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察 结果轻而易举地举出了一个反例。

阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍 因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。事实上这的确是一个十分古老的悖论，是由法国政治哲学家、概率理论家贡多赛在1785年提出的 但是阿罗那时对贡多赛和其他原始材料一无所知，于是暂时放弃了进一步的研究。这是1947年。

次年， 在芝加哥考尔斯（Cowles）经济研究委员会， 阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣：他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。但是一个月后，他在《政治经济学杂志》里发现布莱克(Black)的一篇文章已捷足先登，这篇文章表达了同样的思想看来只好再一次半途而废了。阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以 严肃的 经济学研究为己任，特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础 他认为在除此以外的“旁门左遭’中深究下去会分散他的精力。

1949年夏天， 阿罗担任兰德公司（Rand）的顾问。这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。职员中有个名叫赫尔墨([[]Helmer]]) 的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究， 但是有个问题令他感到十分棘手： 当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够清楚的，但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢?阿罗告诉他， 经济学家已经考虑过这个问题， 并且一个恰当的形式化描述已经由伯格森(Bergson) 在1938年给出。伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题， 它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的， 但是阿罗告诉赫尔墨， 不难用序数效用概念加以重新表述。于是赫尔墨顺水推舟，请阿罗为他写一个详细的说明当阿罗依嘱着手去做时，他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好，阿罗猜测也许会有其他方法。几天的试探碰壁之后， 阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。果然， 他很快就发现了这样一个结果； 几个星期以后，他又对这个结果作进一步加强。

阿罗不可能定理就这样呱呱坠地了。

从1947年萌发胚芽到t950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折， 千呼万唤始出来， 而且颇有点 无心插柳的意味。但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩 这不能不说是耐人寻味的。

众所周知，多数原则是现代社会广泛接受的决策方法。洛克认为“根据自然和理性的法则，大多数具有全体的权力，因而大多数的行为被认为是全体的行为，也当然有决定权了”。但很多在自然法学家那里是想当然正确的东西在社会选择理论中是需要证明的。所谓社会选择，在数学上表达为一个建立在所有个人的偏好上的函数（或对应），该函数的性质代表了一定的价值规范，比如公民主权、全体性、匿名性、目标中性，帕累托最优性，无独裁性等。社会选择最重要的问题是，这些价值规范之间是否是逻辑上协调的。阿罗证明，不存在同时满足如下四个基本公理的社会选择函数：①个人偏好的无限制性，即对一个社会可能存在的所有状态，任何逻辑上可能的个人偏好都不应当先验地被排除；②帕累托原则，即一个方案对所有人是最优的意味着相对于社会偏好序也是最优的；③非相关目标独立性，即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响；④社会偏好的非独裁性。

阿罗的不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。

甲（a ＞ b ＞ c），乙（b ＞ c ＞ a），丙（c ＞ a ＞ b）
注：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。

若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ b ），乙（b ＞ a ），丙（a ＞ b ）
社会次序偏好为（a ＞ b ）

若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（b ＞ c ），乙（b ＞ c ），丙（c ＞ b ）
社会次序偏好为（b ＞ c ）

若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ c ），乙（c ＞ a ），丙（c ＞ a ）
社会次序偏好为（c ＞ a ）

于是我们得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。

阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。

为了简单起见，假定，每个个体至少有3个供排列的选项，可以用各种味道的饼干为选项的例子，如，香草饼干(V)、巧克力饼干(C)和草莓饼干 (S)，每一个人要形成一个序列，表示出他对3种味道的喜爱程度，如V>S>C，表示这个人最喜欢香草饼干，其次是草莓饼干，最后是巧克力饼干。设有甲乙丙三人作选择，他们的个人偏好为：

甲： V>C>S，乙： C>S>V，丙： S>V>C。　表1 投票悖论

投票者 对不同选择方案的偏好次序：甲 V C S，乙 C S V， 丙 S V C ，用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示：

首先，在V和C中选择，甲、丙喜欢V，乙喜欢C；然后，在C和S中选择，甲、乙喜欢C，丙喜欢S；最后，在V和S中选择，乙、丙喜欢S，甲喜欢V。

这样三个人的最终表决结果如下：

V>C，C>S，S>V可见，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”(paradox of voting)。这个投票悖论最早是由康德尔赛(Coudorcet，Marquis de)在l8世纪提出的，因而该悖论又称为“康德尔赛效应”，而利用数学对其进行论证的则是阿罗。

用数学语言来说，即：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系 > i=1，2，…，m。即可以按自己的偏好为事件排序。定义群体的偏好为：>_5 =P(>_1 ldots,>_m)　其中P是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。注意这个排序是自反的，即如果A>B，那么，BB，B>C，则有A>C；并且还是完全的，即要么A>B，要么B>A，二者只有其一而且必有其一。这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用4个公理(有时表述为5条，把公理1分为两条)表述出这些要求。他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，我们采用了自然语言解释。

公理1 个体可以有任何偏好；而且是民主选择——每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择(数学上称为原则U—无限制原则： > i，u=1，2，… ，　m在x上的定义方式无任何限制)。

公理2 不相干的选择是互相独立的；(数学上称为原则I— —独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，>_5=P( iY不成立。就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。)

公理4 没有独裁者——不存在能把个体偏好强加给社会的可能。（数学上称为原则D—— 非独裁原则：不存在某个i，使得PV）；同理，在对V和S以及C和S分别进行投票时，可以得到S 以两票(乙丙)对一票(甲)而胜出于V(S>V)；C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于S(C>S)。这样，C>S—S>V— C>V，投票悖论就此宣告消失，唯有C项选择方案得到大多数票而获胜。

森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：(1)所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；(2)所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；(3)所有人都同意其中一项选择方案并非最差。

森认为，在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。

一个更完整、更简单也更具一般意义的不可能性定理，是艾利亚斯在2004年发表的。这一定理声称：如果有多于两个可供选择的社会状态，那么，任何社会集结算子，只要满足“偏好逆转”假设和“弱帕累托”假设，就必定是独裁的。特别地，阿罗的社会福利函数和森的社会选择函数，都是社会集结算子的特例，并且偏好逆转假设在阿罗和缪勒各自定义的社会选择框架内分别等价于阿罗的“独立性假设”和缪勒的“单调性假设”，从而阿罗的不可能性定理、森的最小自由与帕累托效率兼容的不可能性定理、缪勒和塞特斯维特的一般不可能性定理，均可视为艾利亚斯一般不可能性定理的特例。艾利亚斯的不可能性定理有怎样的经济学和社会学结论是人们正在研究的问题。

假设有甲、乙、丙三人，分别来自中国、日本和美国，而且是分别多年的好朋友。三人久别重逢，欣喜之余，决定一起吃饭叙旧。但是，不同的文化背景形成了他们不同的饮食习惯，对餐饮的要求各不相同，风格各异：
甲：中餐>西餐>日本餐

乙：日本餐>中餐>西餐

丙：西餐>日本餐>中餐

如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：

首先，在中餐和西餐中选择，甲、乙喜欢中餐，丙喜欢西餐；

然后，在西餐和日本餐中选择，甲、丙喜欢西餐，乙喜欢日本餐；

最后，在中餐和日本餐中选择，乙、丙喜欢日本餐，甲喜欢中餐。

三个人的最终表决结果如下：

中餐>西餐，西餐>日本餐，日本餐>中餐

所以，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的"投票悖论"（paradoxofvoting）。

投票悖论最早是由康德尔赛(MarquisdeCoudorcet)在18世纪提出的，因而该悖论又称为"康德尔赛效应"[③]，而利用数学对其进行论证的则是肯尼斯·阿罗。

阿罗认为，有关社会选择的两个公理与民主主义所要求的诸条件不相适应。他所说的公理指以下内容：

公理1：连贯性（connectedness）

在x和y两项选择共存时，下面的某种情况永恒成立：

x大于或等于y；y大于或等于x。

公理2：传递性（transitivity）

在有x、y、z三项选择时，会出现这样几种情况：

x大于或等于y；y大于或等于z；则x大于或等于z。

阿罗指出，奠定这两个公理的基础的社会福利函数与他所谓的民主主义的诸条件不相称。民主主义的诸条件如下：

（1）条件1：个人排列顺序的普通容许区间。

作为个人来讲，对于如何选择自己的选择值序列问题是无关紧要的。例如，在面临x、y、z三项选择时，无论是x>y>z，还是z>y>x，或者是y>z>x，......总而言之，允许个人按照自己意愿排列选择值顺序。

（2）条件2：社会评价与个人评价的正态相关。

假如有五个人来选择x、y，当其中三人为x>y，另外二人为xy，而且，即使出现少数派中的一方改变主意，x>y时，x>y的社会全体的多数表决结果将仍然如故，不会发生改变。

（3）条件3：与无关选择对象无关的独立性。

在x、y、z三项选择值之间，假定选择顺序为x>y>z，那么即使y选择值已不复存在，剩下x和z的x>z的选择关系仍旧不发生改变。

（4）条件4：公民主权

个人的选择顺序与社会结构无关，即社会中的每个人都能按各自的价值观，自由地在备选对象中进行选择。

（5）条件5：非独裁

在全体成员中，当只有特定的个人选择x>y，其余人选择xy。[④]

综上所述，即所有五个条件都理应成为民主社会所具备。阿罗认为，如果同时承认前面两个公理和该五个条件，就会促成投票的悖论效应。这就是阿罗不可能定理。

接下来，笔者举一个简单的例子来说明阿罗所谓两个公理与民主社会的五个条件的矛盾性。

按照阿罗的理论，假设现在有七个人聚在一起准备去吃饭。这七个人对餐饮的偏好顺序如下所示：

1号：中餐>西餐>日本餐

2号

3号日本餐>中餐>西餐

4号

5号

6号西餐>日本餐>中餐

7号

由上可以看出，就中餐和西餐比较而言，1至4号喜欢中餐，5－7号喜欢西餐，故中餐以四比三的结果夺得优势。再将西餐和日本餐相比较，则1号和5至7号喜欢西餐，2至4号喜欢日本餐，即西餐以四比三的结果夺得优势。如果依照公理2的可递性来看，西餐>日本餐，由于前面中餐>西餐，则中餐>日本餐。但是，若从七个人的选择顺序来看，主张中餐比日本餐好的只有1号，而其他人都认为日本餐比中餐好。问题尚不仅于此，按照可递性，中餐将表现为社会选择结果。在此情况下，只有1号的意见得到通过。这时，如果1号改变选择顺序，那么与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，而是以1号的选择顺序为转移。

阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。

就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔（C.Campbell）和塔洛克（G.Tullock）。

坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7％；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50％。[⑤]也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。

此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。他们指出，在投票者超过十人的情况下，以上投票悖论出现的概率基本无变化，而且选择值的多少对悖论概率有相当大的影响。

可见，在这种情景下，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论。

自由民主制度的辩护

当年阿罗提出不可能定理，这对于民主人士来说，几乎是当头一瓢冷水。有人声称，阿罗不可能定理对于投票制度的打击类似于能量守恒定律对于永动机的打击，是最根本和彻底的。在诺贝尔奖的授奖词上，瑞典皇家科学院本茨尔教授承认，“这个结论在完全民主的梦想方面是非常令人失望的”。

我们有时在中文文献中看到，有些作者根据阿罗不可能定理说上一番，然后就判定自由民主制度原来也怎么怎么不好，言下之意似乎全世界的各种政治制度，都不过尔尔。其实这是对阿罗不可能定理的极大误解。事实上，阿罗不可能定理只是证明，不存在十全十美的集体选择规则，但是在已有的选择规则中，还是存在着优劣之别的。在理论上通过放宽阿罗不可能定理从而为自由民主制度辩护的大有人在，其中最著名者的证明路径就是邓肯·布莱克单峰偏好定理与安东尼·唐斯的中间投票人定理。

布莱克认为，阿罗不可能定理其中有一个很强的假设，就是偏好的无限制域（unrestricteddomain）。他认为，这在很大程度上不符合现实情况，现实情况是人们许多偏好构成了一个偏好单峰。所谓单峰偏好，就指多数人的偏好都倾向于其中一个备选方案。在这种情况下，多数规则就能够导致一个稳定性的结果，从而克服了投票悖论。布莱克的意义于，他并未否认阿罗不可能定理在逻辑上成立，但在现实中否定了它的可行性。戈登·塔洛克认为，在现实世界中，投票者的个数总是大大超过供投票选择的社会状态的个数的。这时，出现投票悖论的概率是如此之小，以至于在实际上可以不考虑它。

从单峰偏好就可以推导出中间投票人定理。唐斯指出，在一个多数决策的模型中，如果个人偏好都是单峰的，则反映中间投票人意愿的那种政策会最终获胜，因为选择该政策会使一个团体的福利损失最小（Downs,1957）。中间投票人定理与一个有关社会阶层的假设相关，通常认为，中间投票人往往为拥有中间收入或财产的居民，也就是中间阶级或者中产阶级。在一个社会中的大多数为中产阶级的情况下，社会偏好将向中产阶级的意愿靠拢。这将可让多数规则发挥其作用，从而保证了社会的稳定。一个社会成员中产阶级居于多数地位，那么整个社会就越是不可能出现极端的选择，就越不可能出现革命或者反革命。政治就越稳定，社会经济生活也就越有条件理性化，而不是走向极端。中间投票人定理的另一个含义是：任何一个政党或政治家，要想获得极大量的选票，必须使自己的竞选方案与纲领符合中间投票人的意愿。就是说，他要赢得选举的胜利，必须保持中庸。从现实情况看，美国两党竞争便为中间投票人定理做出了绝好注脚。

现在，我们看到，通过对其中一个条件的修正，阿罗不可能定理不再对多数规则的否定，而构成了对多数规则的证明。1998年，阿马蒂亚·森在诺贝尔颁奖典礼上的演说中指出，阿罗不可能定理其实就是自由民主制度辩护的，这才是一语中的（Sen,2002）。对于西方国家的自由民主制度的辩护士来说，理论已经不存在困惑了。现在的问题是，我们如何将阿罗不可能定理与中国——这个坚持自己的民主制度的国家——对证呢？

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