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矩阵决策法

矩阵决策法的基本要素



  1.状态变量:指可能影响决策后果的各种客观外界情况或自然状态.是不可控因素,记为:


  mathbf{x_j(j=1,2,....,n),}并设mathbf{X=mid x_1,x_2,....,x_n mid}为所有自然状态的集合。


  2.决策变量:指决策者所采取的各种行动方案,是可控因素。记为:mathbf{A_i(i=1,2,....,m)},并设mathbf{A={A_1,A_2,....A_m}}为所有方案的集合。


  3.概率:指各种自然状态出现的概率。记为:mathbf{P(x_j)}mathbf{0le P(x_j) le1},sum_{j=1}^n p(x_j=1)


  其中mathbf{P(x_j)}可以是先验概率,也可以是后验概率。


  4.损益值:在第j种自然状态下选取第 种方案所得结果的损益值,记为:mathbf{V_{i,j}}



矩阵决策法的求解方法

  由实际问题给出的条件列出矩阵决策表。一般情况下,是将上述四要素列表如下表:


  Image:各种行动方案对不同状态的损益值.jpg


  由表l所给的具体数据,利用期望公式:mathbf{E(A_i)=}sum_{j=1}^n V_{i,j}p(x_j)


  令B=egin{bmatrix} V_11 & cdots & V_1n \ vdots & ddots & vdots \ V_m1 & cdots & V_mnend{bmatrix},P=egin{Bmatrix} p(x_1) \ p(x_2) \ ... \ p(x_n) end{Bmatrix},E(A)=egin{Bmatrix} E(A_1) \ E(A_2) \ ... \ E(A_n) end{Bmatrix}


  则有E(A)=BP=egin{bmatrix} V_11 & cdots & V_1n \ vdots & ddots & vdots \ V_m1 & cdots & V_mnend{bmatrix}egin{Bmatrix} p(x_1) \ p(x_2) \ ... \ p(x_n) end{Bmatrix}=egin{Bmatrix} sum_{j=1}^n V_{1,j}p(x_j) \ sum_{j=1}^n V_{2,j}p(x_j) \ ... \ sum_{j=1}^n V_{m,j}p(x_j) end{Bmatrix}


  利用最优期望准则公式E(A_1)=max mid E(A_1),E(A_2),<br>,E(A_m) mid,确定最优行动方案。


  当我们利用公式(1)计算出各行动方案的期望值后,加以比较.再由决策目标要求选择期望值最大(或最小)的行动方案为最优方案。如果表1中的mathbf{V_{i,j}},是收益值.且决策目标使收益最大,则期望值最大的为最优行动方案;如果mathbf{V_{i,j}},决策目标是使损失最小,则选取期望值最小的为最优行动方案。



矩阵决策法的应用举例[1]

  例1:某出租汽车公司在甲、乙、丙三处设立了-租车与还车处,顾客可以在甲、乙、丙任一处租车.也可 在任一处还车。已知顾客在三处租车是等可能的.还车概率如下表所示.如果该公司想选择一处设立汽车保修厂.间设在何处比较适宜?


  Image:还车概率表.jpg


  解:将还车概率看作设立汽车保修厂的损失值。


  令B=egin{bmatrix} 0.8 & cdots & 0.2 \ vdots & ddots & vdots \ 0 & cdots & 0.6end{bmatrix},P=egin{Bmatrix} frac{1}{3} \ frac{1}{3} \ frac{1}{3} end{Bmatrix},


  E(A)=egin{bmatrix} 0.8 & cdots & 0.2 \ vdots & ddots & vdots \ 0 & cdots & 0.6end{bmatrix}P=egin{Bmatrix} frac{1}{3} \ frac{1}{3} \ frac{1}{3} end{Bmatrix}=egin{Bmatrix} 0.40 \ 0.13 \ 0.43 end{Bmatrix}


  由计算出的期望值看到,经过一定时期的经营后,该公司的每部出租车将被还到甲处的概率为0.40,还到乙处的概率为0.13,还到丙处的概率为0.47。故保修厂应设在丙处为宜。


  例2:一位病人患某种疾病,该疾病表现的病型为:X1,X2,X3,X4。医生可以采取下述五种治疗方中的一种:放射疗法(A1),化学疗法(A2),手术疗法(A3),药物疗法(A4)和针灸疗法(A5)。已知此疾病表现为各种病型的概率p(x_j)及各种治疗方案对不同病型的损益值Vij如下表所示。试确定最优治疗方案。


  Image:各种治疗方案对不同病型的损益值表.jpg


  解 令B=egin{bmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 \ 2 & 4 & 6 & 9 \ 5 & 7 & 3 & 5 \ 2 & 5 & 8 & 8 \ 3 & 5 & 5 & 5 end{bmatrix},P=egin{bmatrix}0.2 \ 0.4 \ 0.1 \ 0.3 end{bmatrix},则E(A)=BP=egin{bmatrix} 5.5 \ 5.3 \ 5.6 \ 5.6 \ 4.6 end{bmatrix}


  比较计算所得的期望值,手术疗法(A3)和药物疗法(A4)都比较好。而E(A_3)=5.6-3=2.6<E^prime(A_4)=5.6-2=3.6。故最优治疗方案为手术疗法。



参考文献

  1. ↑ 周宏安.矩阵决策法及其应用.《陕西工学院学报》.2001年1期







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