Ho-Lee模型

二元格点结构

Ho-Lee模型考察贴现函数的变动，其最重要的部分是贴现函数的二元格点结构。对于贴现函数D_s,t( * )，在初始时刻为零状态，记为D( * ) = D_0.0( * )，经过一时刻后，在时刻1，贴现函数可能出现两种状态：上升状态和下降状态，贴现函数分别为D_1.1( * )和D_0.1( * )，以后每经历一个上升状态，状态下标s增加1，否则不增加；时间下标t在每一时刻后增加1。这样，在时刻2有贴现函数D_2.2( * )，D_1,2( * )和D_0,2( * )。显然，这里出现一种路径无关现象，即贴现函数经历一次上升后下降D_0,0( * ) − − D_1,1( * ) − − D_1,2( * )和经历一次下降后上升D_0,0( * ) − − D_0,1( * ) − − D_1,2( * )完全相同，D_s,t(T)只与经历的上升次数和下降次数有关而与时间路径无关。Ho-Lee模型将这种现象称为贴现函数与路径无关。

通常我们用收益率曲线而不用贴现函数来表示利率期限结构，因此须将贴现函数转为收益率曲线形式，收益率曲线为：

R（T）= - LnD（T）/T （3）

其中R（T）是到期期限为T的贴现债券的连续复利收益率。

Ho-Lee模型的基本假设有以下几点：

1、市场是无摩擦的，既无税收费用，也不考虑交易费用，所有证券皆可分割。

2、市场并非连续出清，而是在有规则间隔的时点上出清。模型中以一段时隔为时间单位，定义期限为T的贴现债券为到第T期末偿付1美元的债券。

3、市场是完全的。对每一期限n，均有相对应的贴现债券存在。（n=0,1,2,3……）

Ho-Lee模型是建立在无套利假设基础上的，它现在已经成为分离时间框架基础上利率期限结构模型的一般原则。Ho-Lee模型的主要内容有：

1、初始利率期限结构的估计。首先必须确定一个期限结构或相应贴现函数的初始状态，一般来说要求所选择的债券能覆盖市场上大部分可得债券，并必须运用特定的函数形式，如指数形式。

2、利率变动的套利约束。利率期限结构被假设按满足某种自然约束的方式进行变化，Ho-Lee模型假定贴现函数依据下列原则随时间进行变化：

这样，我们得到了扰动函数的一般表达式，只要给定参数π、δ，就可以由公式（8）、（9）得到Ho-Lee模型的一般表达式，即可由初始的贴现函数D0,0（T）和参数π、δ来完全确定利率期限结构的变化。特别地，在更复杂的Ho-Lee模型的推广模型中，参数π、δ被看作是随状态s和时间t而变化。

Ho-Lee模型中的参数π被看作是一种风险中性概率，即恰好使得本时刻的T期限债券的价格等于本时刻后预期价格现值的概率，这一点反映在（6）中，因此π=（r-d）/（u-d），这里r是无风险收益，u和d分别是上升状态和下降状态的无风险收益。参数δ的解释稍稍复杂一些，正如Ho-Lee所指出的，δ决定了两个扰动函数hu(T)和hd(T)间的差额，差额越大，则期限结构的可变性越大，因此参数δ同期限结构的可变性直接相关，而且呈负相关关系，即δ越大，波动性越小。这一点可以由（12）式可以看出:

δ= 1 /[（1 -π）hu(1)] -π/（1 -π）　　　

因此δ越大，hu(1)越小，即波动性越小。

Ho-Lee模型指出，参数π、δ的估计，必须使用非线性估计方法来决定，使得某些或有要求权的理论价格能最好地符合观察到的价格。具体来说，是通过一个反复试错的过程来估计π、δ的值。首先观察一组不同期限的或有要求权的价格，以此来计算初始的π、δ，随后用它们来估计理论价格，再依据理论价格和观察到价格之间的差价来调整π、δ，使得理论价格尽可能符合观察到的价格。这一过程一直重复下去，直到最后理论价格充分接近市场价格。

Ho-Lee模型用一种比较简单的方式来模拟利率期限结构随时间的可变性，这一模型使用从两个市场数据估计出来的参数π、δ驱动的，它使得债券价格的变化过程没有套利机会。由于它是由最初的利率期限结构决定的，因此它是一个相对定价模型，同时由最初期限结构的外生性决定利率期限结构的变化也是外生的，这不同于其他产生内在收益率曲线的模型，如短期利率随机过程模型。

Ho-Lee模型有几个不足之处：

1、它假设参数π、δ是不随着（s,t）的变化而变化，这意味着隐含的价格波动性是独立于时间变化的。但事实上，随着到期期限的临近，债券价格分布也将自动回归到到期平价，也就是说，隐含的波动性会随时间的推移而变小。

2、根据Ho-Lee模型假设的限制和初始条件，可能出现负的远期利率。Peter Ritchken & Kiekie Boenwan(1990)指出了这一缺陷并提出了修正方案，通过增加一个约束条件：

3、Ho-Lee模型隐含了一个所有利率的共同波动性，即长期利率和短期利率的波动性是相同的。但事实上长期利率的波动性要小于短期利率的波动性，这一点已经得到证明，即收益率曲线将随期限增加变得越来越平坦。

利率期限结构的研究在我国还处于初始阶段，这是由于我国的金融市场的实际情况决定的。利率期限结构研究首先要以利率市场化为前提，如果没有实现利率市场化，利率不能随资金市场供求关系的变化而变化，那么利率期限结构就无从谈起。

利率市场化和利率期限结构及其应用的研究是相互促进的两个方面。利率市场化程度越高，利率受各种市场因素的影响就越大，利率就具有更大的可变性，这时为了防范利率风险或是为了进行利率投机，利率期限结构及其应用的研究会更加受到重视，从而促进研究的进一步开展。反之，利率期限结构在债券组合管理中的应用越广泛，则债券管理人对市场利率的反应就更敏感，债券组合随市场利率变化而调整的频率就越高，这样市场利率就越能够反映市场各方力量对比，就越市场化。因此利率期限结构及其应用的研究和利率市场化程度密切相关，它以利率市场化为前提，同时又有利于利率的进一步市场化。随着我国利率市场化步伐的加快，利率期限结构及其应用的研究将会受到更多的关注。 ^[1]