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相关系数

什么是相关系数
　　相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
　　著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
　　依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
相关系数的几种定义
　　相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。
　　简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母P 表示，是用来度量变量间的线性关系的量。
　　复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。
　　典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。
">编辑]相关系数的性质
　　(1) $|\rho_{XY}| \le 1$ ；
　　(2)定理： | ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得 $\rho \left\{ Y=a+bX \right\}=1$ ；
　　相关系数ρXY取值在-1到1之问，ρXY = 0时，
　　称X,Y不相关； | ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系； | ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大， | ρXY | > 0.8时称为高度相关，当 $\rho^2_{XY}<0.09$ ，即 | ρXY | < 0.3时，称为低度相关，其他为中度相关。
　　(3)推论：若Y=a+bX，则有
　　 $\rho_{XY}=\begin{cases} 1, & b>0 \\ 0, & b=0 \\ -1, & b<0 \end{cases}$
　　证明：令E(X) = μ，D(X) = σ2
　　则E(Y) = bμ + a，D(Y) = b2σ2
　　E(XY) = E(aX + bX2) = aμ + b(σ2 + μ2)
　　Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ2
　　若b≠0，则 $\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}= \frac{b\sigma^2}{\sigma |b| \sigma}=\begin{cases} 1, & b>0 \\ -1, & b<0 \end{cases}$
　　若b=0，则ρXY = 0。
相关系数的计算方法
　　相关系数的公式如下:
　　 $r=\frac{\sigma{xy}}{\sigma_x\sigma_y}$ 　　(1)
　　 $\sigma{xy}=\sigma^2{xy}=\frac{\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})}{n}$
　　 $\sigma_x=\sqrt{\frac{\sum(x-\overline{x})^2}{n}}$
　　 $\sigma_y=\sqrt{\frac{\sum(y-\overline{y}^2)}{n}}$
　　 $r=\frac{\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sqrt{\sum(x-\overline{x})^2\sum(y-\overline{y})^2}}$ 　　(2)
　　 $=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^2-(\sum x)^2\cdot\sqrt{n\sum y^2-(\sum y)^2}}$ 　　(3)
　　 $=\frac{n^2}{\frac{\sum x}{n}-\frac{\sum y}{n}}{\sqrt{n^2\cdot\sqrt n^2}}$ 　　(4)
　　 $=\frac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum\overline{x^2}-(\overline{x})^2}\cdot\sqrt{\sum\overline{y^2}-(\overline{y})^2}}$ 　　(5)
　　 $L_{xx}=\sum(x-\overline{x})^2=\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}{n}$
　　 $L_{yy}\sum(y-\overline{y})^2=\sum y^2-\frac{(\sum y)^2}{n}$
　　 $L_{xy}=\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})=\sum xy-\frac{\sum x \sum y}{n}$
　　 $r=\frac{L_{xy}}{\sqrt{L_{xx}L_{yy}}}$
　　相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：
当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。
　　例:某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表1:
　　表1　　广告费与月平均销售额相关表　　单位：万元

　　参照表1，可计算相关系数如表2：

$r=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{n\sum x^2-(\sum x)^2}\sqrt{n\sum y^2-(\sum y)^2}}$ $=\frac{10\times 16679.09-346.2\times 422.5}{\sqrt{10\times 14304.52-346.2^2}\sqrt{10\times 19687.81-422.5^2}}$ =0.9942
　　相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。　　
">编辑]相关系数的应用

　　1.在概率论计算中的应用
　　例1．若将一枚硬币抛n次，X表示n次试验中出现正面的次数，Y表示n次试验中出现反面的次数。计算ρXY。
　　解：由于X+Y=n，则Y=-X+n，根据相关系数的性质推论，得ρXY = − 1。
　　例2．已知随机变量X、Y分别服从正态分布N(1，9)，N(0，16)且X，Y的相关系数 $\rho_{XY}=-\frac{1}{2}$
　　设 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$ ，求证X，Z相互独立。
　　证明：由已知得E(X)=1，D(X)=9，E(Y)= 0，D(Y) = 16
　　 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\rho_{XY} \bullet \sqrt{D(X)} \bullet \sqrt{D{Y}}=-6$
　　由于正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知Z是正态变量。
　　根据数学期望的性质有 $E(Z)=E(\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y)=\frac{1}{3}E(X)+\frac{1}{2}E(Y)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \times 0 =\frac{1}{3}$
　　根据方差的性质有 $D(Z)=D(\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y)=\frac{1}{9} D(X) + \frac{1}{4} D(Y) + 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} Cov(X,Y)=3$ 得 $Z \sim N(\frac{1}{3},3)$
　　 $E(XZ)=E(\frac{1}{3}X^2)+\frac{1}{2}XY)=\frac{1}{3}E(X^2) + \frac{1}{2} E(XY)$
　　由于 E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) = − 6，
　　E(X2) = D(X) + 2 = 10
　　 $E(XZ)=\frac{1}{3} \times 10 + \frac{1}{2} \times (-6) = \frac{1}{3}$
　　 $Cov(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)=\frac{1}{3}-1 \times \frac{1}{3}=0$
　　ρXZ = 0，X，Z不相关。
　　由于正态随机变量的相互独立与互不相关等价，故X,Z相互独立。
　　因此，一般情况下两个随机变量不相关不一定相互独立。不相关仅指随机变量之问没有线性关系，而相互独立则表明随机变量之间互不影响，没有关系。

　　2.在企业物流上的应用
　　【例】一种新产品上市。在上市之前，公司的物流部需把新产品合理分配到全国的10个仓库，新品上市一个月后，要评估实际分配方案与之前考虑的其他分配方案中，是实际分配方案好还是其中尚未使用的分配方案更好，通过这样的评估，可以在下一次的新产品上市使用更准确的产品分配方案，以避免由于分配而产生的积压和断货。表1是根据实际数据所列的数表。
Image:表1 产品分配方案评估.jpg

　　通过计算，很容易得出这3个分配方案中，B的相关系数是最大的，这样就评估到B的分配方案比实际分配方案A更好，在下一次的新产品上市分配计划中，就可以考虑用B这种分配方法来计算实际分配方案。

　　3.在聚类分析中的应用
　　【例】如果有若干个样品，每个样品有n个特征，则相关系数可以表示两个样品问的相似程度。借此，可以对样品的亲疏远近进行距离聚类。例如9个小麦品种(分别用A1,A2,...,A9表示)的6个性状资料见表2，作相关系数计算并检验。
Image:表2 9个小麦品种的6个性状资料.jpg

　　由相关系数计算公式可计算出6个性状间的相关系数，分析及检验结果见表3。由表3可以看出，冬季分蘖与每穗粒数之间呈现负相关(ρ = − 0.8982)，即麦冬季分蘖越多，那么每穗的小麦粒数越少，其他性状之间的关系不显著。
Image:表3 6个性状间的相关系数.jpg

相关系数的缺点
　　需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1；当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。
　　例如，就我国深沪两股市资产负债率与每股收益之间的相关关系做研究。发现1999年资产负债率前40名的上市公司，二者的相关系数为r=–0.6139；资产负债率后20名的上市公司，二者的相关系数r=0.1072；而对于沪、深全部上市公司（基金除外）结果却是，r沪=–0.5509，r深=–0.4361，根据三级划分方法，两变量为显著性相关。这也说明仅凭r的计算值大小判断相关程度有一定的缺陷。
参考文献

↑ 1.0 1.1 郭红霞.相关系数及其应用.武警工程学院学报.2010年3月,第26卷第2期
↑ 王爱莲.统计学.第七章相关与回归分析.第一节相关分析.西安石油大学.经济管理学院

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