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最大似然估计

最大似然估计概述
　　最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。
　　“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。
　　最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。
　　例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。由于被研究序列的共同祖先序列是未知的，概率的计算变得复杂；又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换，并且不是所有的位点都是相互独立，概率计算的复杂度进一步加大。尽管如此，还是能用客观标准来计算每个位点的概率，计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。然后，根据定义，概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。
最大似然估计的原理
　　给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为fD，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，通过利用fD，我们就能计算出其概率：

$\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$
　　但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。那么我们如何才能估计出θ呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,...,Xn，然后用这些采样数据来估计θ.
　　一旦我们获得 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，我们就能从中找到一个关于θ的估计。最大似然估计会寻找关于 θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。
　　要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义可能性:

$\mbox{lik}(\theta) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$
　　并且在θ的所有取值上，使这个注意这里的可能性是指 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 不变时，关于θ的一个函数。最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。最大似然估计的例子离散分布，离散有限参数空间
　　考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样 $x_1=\mbox{H}, x_2=\mbox{T}, \ldots, x_{80}=\mbox{T}$ 并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为p，抛出一个反面的概率记为1 − p（因此，这里的p即相当于上边的θ）。假设我们抛出了49个正面，31 个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为p = 1 / 3, p = 1 / 2, p = 2 / 3. 这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个可能性函数取以下三个值中的一个：

$\begin{matrix} \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/3) & = & \binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} \approx 0.000 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/2) & = & \binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} \approx 0.012 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=2/3) & = & \binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} \approx 0.054 \\ \end{matrix}$
　　我们可以看到当 $\widehat{p}=2/3$ 时，可能性函数取得最大值。这就是p的最大似然估计.
离散分布，连续参数空间
　　现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于 $0\leq p \leq 1$ 中的任何一个p，都有一个抛出正面概率为p的硬币对应，我们来求其可能性函数的最大值：

$\begin{matrix} \mbox{lik}(\theta) & = & f_D(\mbox{H=49,T=80-49}\mid p) = \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \\ \end{matrix}$
　　其中 $0\leq p \leq 1$ .我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对p取微分，并使其为零。

$\begin{matrix} 0 & = & \frac{d}{dp} \left( \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \right) \\ & & \\ & \propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \\ & & \\ & = & p^{48}(1-p)^{30}\left \\ \end{matrix}$
　　在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线 t = 3, n = 10；其最大似然估计值发生在其众数(数学)并在曲线的最大值处。
　　其解为p = 0, p = 1，以及p = 49 / 80. 使可能性最大的解显然是p = 49 / 80（因为p = 0 和p = 1 这两个解会使可能性为零）。因此我们说最大似然估计值为 $\widehat{p}=49/80$ .
　　这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的'成功'次数，用另一个字母n代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

$\widehat{p}=\frac{t}{n}$
　　对于任何成功次数为t，试验总数为n的伯努利试验。
连续分布，连续参数空间
　　最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：

$f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
　　其n个正态随机变量的采样的对应密度函数（假设其独立并服从同一分布）为：

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
　　或：

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ ,
　　这个分布有两个参数：μ,σ2. 有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性 $\mbox{lik}(\mu,\sigma) = f(x_1,,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma^2)$ 在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有θ = (μ,σ2).
　　最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的函数。性质泛函不变性（Functional invariance）
　　如果 $\widehat{\theta}$ 是 θ的一个最大似然估计，那么α = g(θ)的最大似然估计是 $\widehat{\alpha} = g(\widehat{\theta})$ . 函数 g 无需是一个——映射。
渐近线行为
　　最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差（其证明可见于Cramer-Rao lower bound）。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。
偏差
　　最大似然估计的非偏估计偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有1到n的n张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果n是未知的话，那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n，尽管其期望值的只有(n + 1) / 2. 为了估计出最高的n值，我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值。
">编辑]最大似然估计的一般求解步骤
　　基于对似然函数L(θ)形式(一般为连乘式且各因式>0)的考虑，求θ的最大似然估计的一般步骤如下：
　　(1)写出似然函数
　　 $L\theta=\prod_{i=1}^n p(x_i;\theta)$ (总体X为离散型时)
　　或 $L\theta=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$ (总体X为连续型时)
　　(2)对似然函数两边取对数有
　　 $lnL\theta=\sum_{i=1}^n lnp(x_i;\theta)$
　　或 $lnL\theta=\sum_{i=1}^n lnf(x_i;\theta)$
　　(3)对lnL\theta求导数并令之为0：
　　 $\frac{dlnL\theta}{d\theta}=0$
　　此方程为对数似然方程。解对数似然方程所得，即为未知参数的最大似然估计值。
　　例1
　　设总体X~N(μ，σ2),μ，σ2为未知参数，X1,X2...,Xn是来自总体X的样本，X1,X2...,Xn是对应的样本值，求μ与σ2的最大似然估计值。
　　解 X的概率密度为
　　f(x;μ，σ2)= $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}$ ( $-\infty$ <x<+ $\infty$ ),
　　可得似然函数如下：
　　L(μ，σ2)= $\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2{\sigma}^2}}$
　　取对数，得
　　lnL(μ，σ2)= $-\frac{n}{2}ln(2\pi)-\frac{n}{2}ln(\sigma^2)-\frac{1}{2{\delta}^2}\sum_{i=1}^n{(x_i-\mu)}^2$
　　令
　　 $\begin{cases}\frac{\partial}{\partial\mu}ln L(\mu,\sigma)=0,\\\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu,\sigma)=0,\end{cases}$
　　可得
　　 $\begin{cases}\frac{1}{\sigma^2}(\sum_{i=1}^2x_i-n\mu)=0,\\-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=0.\end{cases}$
　　解得
　　 $\begin{cases}\widehat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\overline{x}, \\\widehat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2.\end{cases}$
　　故μ和δ2的最大似然估计量分别为
　　 $\widehat{\mu}=\overline{X}$ ， $\widehat{\delta^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$
参考文献

↑ 王翠香编著.概率统计.北京大学出版社,2010.02

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