逻辑斯蒂方程

逻辑斯蒂方程的推导
　　当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？
　　首先要考虑社会的需求量．社会对产品的需求状况一般依如下两个特性确定：
　　1. 对产品的需求有一个饱和水平．当产品需求量达到一定数量时，对这种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；
　　2. 假设在时刻t，社会对产品的需求量为x=x(t)，需求的增长速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t)之乘积，记比例系数为k ；
　　根据上述实际背景的两个特征，可建立如下微分方程：
　　.......................(1)
　　分离变量，得:
　　
　　两边积分，得:
　　
　　其中:
　　从而，通解为:
　　......(2)
　　其中，B和b为正常数，可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation)，式(2)称为逻辑斯蒂曲线。
逻辑斯蒂方程的基本性质
　　1.当t=O时，x(t)的值为：；
　　2.x(t)的增长率,因此，x(t)是增函数；
　　3.当B值较大而t较小时，将很大，,于是
　　
　　x(t)近似于依指数函数增大，销售速度不断增大；
　　4.当t增大以后，越来越接近于零，分母越来越接近于1，销售速度开始下降，x(t)的值接近于a（饱和值）。
逻辑斯蒂方程的应用
　　1．人口限制增长问题
　　人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。
　　2. 信息传播问题
　　所谓信息传播可以是一则新闻，一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期，知道这一信息的人很少，但是随时间的推移，知道的人越来越多，到一定时间，社会上大部分人都知道了这一信息．这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述。若以t表示从信息产生算起的时间，P表示已知信息的人口比例，则逻辑斯蒂方程变为：
　　...................(3)
　　例如,当某种商品调价的通知下达时，有10％的市民听到这一通知，2小时以后，25％的市民知道了这一信息，由逻辑斯蒂方程可算出有75％的市民了解这一情况所需要的时间。
　　在方程(3)中，由t=0时，P=10％可得 B＝9;再由t=2时，P=25％可得,。
　　当P=75％时，有:
　　
　　解得t=6，即6小时后，全市有75％的人了解这一通知。
　　3.商品销售预测问题
　　例如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量也很小。当这种商品信息传播出去后，销售量大量增加，到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如，这种商品饱和量估计a=500(百万件)，大约5年可达饱和，常数b经测定为b=lnl0，B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。
　　由,有:
　　(百万件)
　　所以第三年末的市场销售量大约为454.5百万件，这样可以做到有计划地生产。
　　逻辑斯蒂方程的应用比较广泛。如果问题的基本数量特征是：在时间t很小时，呈指数型增长，而当t增大时，增长速度就下降，且越来越接近于一个确定的值，这类问题可以用逻辑斯蒂方程加以解决。