阿罗不可能性定理

名词解释
　　

阿罗不可能性定理

　　　阿罗不可能性定理是指，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。定理是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思·J·阿罗提出。发展
　　阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。
　　阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候， 波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算， 阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念 在此之前． 阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。
　　后来， 阿罗考上研究生．在哈罗德·霍特林（Harold Hotelling)的指导下攻读数理经济学 他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地 就拿消费者的最优决策来说吧， 消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组台、这正好与逻辑学上的排序概念吻台。又如厂商理论总是假设厂商追求利润最大化， 当考虑时间因素时， 因为将来的价格是未知的 厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。知道、现代经济中的企业一般是由许多股东所共同拥有100个股东对将来的价格可能有100种不同的期望，相应地根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便有100种方案。那末， 问题如何解决呢，一个自然的办法是由股东(按其占有股份多少)进行投票表决， 得票最多的方案获胜 这又是一个排序问题阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察 结果轻而易举地举出了一个反例。
　　阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍 因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。事实上这的确是一个十分古老的悖论， 是由法国政治哲学家、概率理论家贡多赛在1785年提出的 但是阿罗那时对贡多赛和其他原始材料一无所知， 于是暂时放弃了进一步的研究。这是1947年。
　　次年， 在芝加哥考尔斯(Cowles)经济研究委员会， 阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣： 他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。但是一个月后， 他在《政治经济学杂志》里发现布莱克(Black)的一篇文章已捷足先登， 这篇文章表达了同样的思想看来只好再一次半途而废了。阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以 严肃的 经济学研究为己任， 特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础 他认为在除此以外的“旁门左遭’中深究下去会分散他的精力。
　　1949年夏天， 阿罗担任兰德公司(Rand)的顾问。这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。职员中有个名叫赫尔墨([[]Helmer]]) 的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究， 但是有个问题令他感到十分棘手： 当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够清楚的， 但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢?阿罗告诉他， 经济学家已经考虑过这个问题， 并且一个恰当的形式化描述已经由伯格森(Bergson)在1938年给出。伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题， 它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用 虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的， 但是阿罗告诉赫尔墨， 不难用序数效用概念加以重新表述。于是赫尔墨顺水推舟， 请阿罗为他写一个详细的说明当阿罗依嘱着手去做时， 他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好， 阿罗猜测也许会有其他方法。几天的试探碰壁之后， 阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。果然， 他很快就发现了这样一个结果； 几个星期以后， 他又对这个结果作进一步加强。
　　从1947年萌发胚芽到t950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折， 千呼万唤始出来， 而且颇有点 无心插柳的意味。但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩 这不能不说是耐人寻味的。内容
　　阿罗的不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。
　　甲（a ＞ b ＞ c）
　　乙（b ＞ c ＞ a）
　　丙（c ＞ a ＞ b）
　　注：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。
　　1.若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：
　　甲（a ＞ b ）
　　乙（b ＞ a ）
　　丙（a ＞ b ）
　　社会次序偏好为（a ＞ b ）
　　2.若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：
　　甲（b ＞ c ）
　　乙（b ＞ c ）
　　丙（c ＞ b ）
　　社会次序偏好为（b ＞ c ）
　　3.若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：
　　甲（a ＞ c ）
　　乙（c ＞ a ）
　　丙（c ＞ a ）
　　社会次序偏好为（c ＞ a ）
　　于是得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。
　　阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。操作实务
　　众所周知，多数原则是现代社会广泛接受的决策方法。洛克认为“根据自然和理性的法则，大多数具有全体的权力，因而大多数的行为被认为是全体的行为，也当然有决定权了”。但很多在自然法学家那里是想当然正确的东西在社会选择理论中是需要证明的。所谓社会选择，在数学上表达为一个建立在所有个人的偏好上的函数（或对应），该函数的性质代表了一定的价值规范，比如公民主权、全体性、匿名性、目标中性，帕累托最优性，无独裁性等。社会选择最重要的问题是，这些价值规范之间是否是逻辑上协调的。社会选择函数

个人偏好的无限制性

　　即对一个社会可能存在的所有状态，任何逻辑上可能的个人偏好都不应当先验地被排除；

帕累托原则

　　即一个方案对所有人是最优的意味着相对于社会偏好序也是最优的；

非相关目标独立性

　　即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响经典案例
　　假设有甲、乙、丙三人，分别来自中国、日本和美国，而且是分别多年的好朋友。三人久别重逢，欣喜之余，决定一起吃饭叙旧。但是，不同的文化背景形成了他们不同的饮食习惯，对餐饮的要求各不相同，风格各异
　　甲：中餐>西餐>日本餐
　　乙：日本餐>中餐>西餐
　　丙：西餐>日本餐>中餐
　　如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：
　　首先，在中餐和西餐中选择，甲、乙喜欢中餐，丙喜欢西餐；
　　然后，在西餐和日本餐中选择，甲、丙喜欢西餐，乙喜欢日本餐；
　　最后，在中餐和日本餐中选择，乙、丙喜欢日本餐，甲喜欢中餐。
　　三个人的最终表决结果如下：
　　中餐>西餐，西餐>日本餐，日本餐>中餐
　　所以，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的"投票悖论"（paradox of voting）。
　　投票悖论最早是由康德尔赛(Marquis de Coudorcet)在18世纪提出的，因而该悖论又称为"康德尔赛效应"[③]，而利用数学对其进行论证的则是肯尼斯·阿罗。
　　阿罗认为，有关社会选择的两个公理与民主主义所要求的诸条件不相适应。他所说的公理指以下内容：
　　公理1：连贯性（connectedness）
　　在x和y两项选择共存时，下面的某种情况永恒成立：
　　x大于或等于y；y大于或等于x。
　　公理2：传递性（transitivity）
　　在有x、y、z三项选择时，会出现这样几种情况：
　　x大于或等于y；y大于或等于z；则x大于或等于z。
　　阿罗指出，奠定这两个公理的基础的社会福利函数与他所谓的民主主义的诸条件不相称。民主主义的诸条件如下：
　　（1）条件1：个人排列顺序的普通容许区间。
　　作为个人来讲，对于如何选择自己的选择值序列问题是无关紧要的。例如，在面临x、y、z三项选择时，无论是x>y>z，还是z>y>x，或者是y>z>x，......总而言之，允许个人按照自己意愿排列选择值顺序。
　　（2）条件2：社会评价与个人评价的正态相关。
　　假如有五个人来选择x、y，当其中三人为x>y，另外二人为xy，而且，即使出现少数派中的一方改变主意，x>y时，x>y的社会全体的多数表决结果将仍然如故，不会发生改变。
　　（3）条件3：与无关选择对象无关的独立性。
　　在x、y、z三项选择值之间，假定选择顺序为x>y>z，那么即使y选择值已不复存在，剩下x和z的x>z的选择关系仍旧不发生改变。
　　（4）条件4：公民主权
　　个人的选择顺序与社会结构无关，即社会中的每个人都能按各自的价值观，自由地在备选对象中进行选择。
　　（5）条件5：非独裁
　　在全体成员中，当只有特定的个人选择x>y，其余人选择xy。[④]
　　综上所述，即所有五个条件都理应成为民主社会所具备。阿罗认为，如果同时承认前面两个公理和该五个条件，就会促成投票的悖论效应。这就是阿罗不可能定理。
　　接下来，笔者举一个简单的例子来说明阿罗所谓两个公理与民主社会的五个条件的矛盾性。
　　按照阿罗的理论，假设现在有七个人聚在一起准备去吃饭。这七个人对餐饮的偏好顺序如下所示：
　　1号：中餐>西餐>日本餐
　　2号 日本餐>中餐>西餐
　　3号 日本餐>中餐>西餐
　　4号 日本餐>中餐>西餐
　　5号 西餐>日本餐>中餐
　　6号 西餐>日本餐>中餐
　　7号 西餐>日本餐>中餐
　　由上可以看出，就中餐和西餐比较而言，1至4号喜欢中餐，5－7号喜欢西餐，故中餐以四比三的结果夺得优势。再将西餐和日本餐相比较，则1号和5至7号喜欢西餐，2至4号喜欢日本餐，即西餐以四比三的结果夺得优势。如果依照公理2的可递性来看，西餐>日本餐，由于前面中餐>西餐，则中餐>日本餐。但是，若从七个人的选择顺序来看，主张中餐比日本餐好的只有1号，而其他人都认为日本餐比中餐好。问题尚不仅于此，按照可递性，中餐将表现为社会选择结果。在此情况下，只有1号的意见得到通过。这时，如果1号改变选择顺序，那么与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，而是以1号的选择顺序为转移。
　　阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。
　　就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔（C. Campbell）和塔洛克（G. Tullock）。
　　坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7％；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50％。[⑤]也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。
　　此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。他们指出，在投票者超过十人的情况下，以上投票悖论出现的概率基本无变化，而且选择值的多少对悖论概率有相当大的影响。[⑥]
　　可见，在这种情景下，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论。