西方期权定价理论

西方期权定价理论

西方期权定价理论

西方期权定价理论

期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying assets)的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。早在１９００年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。７０年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。研究西方期权定价理论，不仅有助于深化我们对期权及其他金融创新工具的研究，且对我国实业界在条件成熟时进入国际期权市场具有一定指导意义。由于当今西方主要期权理论均是从股票期权的定价发展而成，本文亦将结合股票期权进行讨论。

一、布莱克－肖莱斯期权定价模型

１９７３年，美国芝加哥大学学者f·布莱克与m·肖莱斯提出了布莱克－肖莱斯期权定价模型（black-scholes option pricing model，以下简称布－肖模型），对股票期权的定价作了详细的讨论〔（１）ａ〕。此后，不少学者又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地推动了期权定价理论的研究。布－肖模型的提出是期权定价理论的重大突破，因而，布莱克与肖莱斯被公认为研究期权定价理论的杰出代表。

（一）假设前提

为了构建其期权定价模型，布莱克与肖莱斯提出了如下假设：

第一，作为基础商品的股票价格是随机波动的，且满足几何维纳过程(geometric wiener process)。这意味着：１．基础商品价格波动是独立的，将来的价格水平只与现在的价格相关，与过去的价格无关。２．基础商品价格不能停止变动，且这种波动是连续的。３．在极短时间内，基础商品价格只能有微小的波动，不会出现跳跃。用数学公式来表示，即为：

ds[t]=ms[t]d[t]+σs[t]d[z] （１）

其中s[t]表示股票价格，m为瞬时期望收益。σ为无风险连续收益率的标准差，dz为标准维纳过程，是期望值为０，标准差为１的标准正态分布变量。

第二，股价服从于对数正态分布，这是几何维纳过程所隐含的一个条件，表示股价的对数满足正态分布（见下图）。

（附图 {图}）

这一分布具有两个特点：１．非对称性。即变量对均值上升与下跌相同幅度的概率不一样，一般股价上升１００％的概率与下降５０％的概率相当〔（１）ｂ〕。正因为如此，保证了股价的非负性。２．从概率分布图向两翼，特别是向右的扩展可以看出，股票价格较大幅度地偏离均值的概率也是不容忽视的，但总体上股票价格在均值附近窄幅波动的情况更普遍。

第三，资本市场完善。即不存在交易手续费、税收及保证金等因素。

第四，市场提供了连续交易机会。即假定所有的股票都是无限可分的，交易者能在无交易成本情况下，不断调整股票与期权的头寸状况，得到无风险组合。

第五，存在一无风险利率。在期权有效期内，投资者可以此利率无限制地存款或贷款。

第六，股票不派发股息，期权为欧洲期权。

第七，基础商品价格波动的离散度〔（２）ｂ〕为一常数。

（二）布－模型的主要内容

１．买方期权定价

基于上述假设，布莱克与肖莱斯认为期权提供了对股票组合进行保值的有效的途径。在股票投资中存在着系统风险与非系统风险，后者可以通过投资对象的分散化来减少，但前者却不能。但如果把股票市场与期权市场联系起来，则投资者就可以不断地调整股票与期权的头寸状况，形成一个完全抵补的资产组合，在该组合中，股票投资的损益刚好可被期权交易的益损冲抵，从而消除了股票投资的系统风险。此时，股票与期权组合的收益率应该等同于无风险债券的收益率（即无风险利率），期权的价格也即其均衡价格〔（３）ｂ〕。

现假定我们拥有q[s]股的某种股票，为了消除系统风险，需卖出一定数量的股票期权（q[c]个合约，为简便，假设一个合约的单位为１股），则：v[h]=q[s]·s-q[c]·c （２）

v[h]表示该组合的初始状况，c为买方期权价格，s为股票市价，减号表示卖出。

（附图 {图}）

令q[s]=1，并将（３）式代入（５）式，得出：

（附图 {图}）

因为股价形成服从几何维纳过程（见（１）式），根据这一类随机过程的特点，可得到如下伊藤公式〔（１）ｃ〕：

（附图 {图}）

对于买方期权，其价格还具有如下特点：

（附图 {图}）

其中n(d[1])与n(d[2])分别表示相应偏离程度小于d[1]与d[2]的概率，可以从标准正态函数表中查到。t表示期权剩余的有效期限。（１１）式即是布－肖模型所给出的买方期权定价的基本公式，从中可看出：

第一，买方期权的价格完全取决于五个基本的变量，即基础商品的市场价格(s)、期权的协定价格(x)、剩余的有效期限(t)、无风险收益率(r)以及股票价格的离散度(σ)。在这些变量中，其中一个变化而其余保持不变，则买方期权的价格变化将呈现如下情况：（１）基础商品价格越高，买方期权价格越高；（２）剩余有效期限越长，买方期权价格越高；（３）无风险收益率越大，买方期权价格越高；（４）协定价格越高，买方期权价格越低；（５）基础商品价格离散度越大，买方期权价格越大。

第二，买方期权价格与投资者的风险偏好以及对股票价格的预期等因素没有关系。只要能得到上述的五个基本变量，就可以得到相应的买方期权的价格。

２．欧洲卖方期权的定价

在得到了欧洲买方期权的定价公式后，很容易从中推导出同期限与协定价格的欧洲卖方期权的定价公式。根据期权的内在特点，在同一基础商品的同期限与协定价格的买方期权与卖方期权之间存在着一定的平价关系，即：

p=c+pv[t]〔x〕-s〔（１）ｄ〕

其中p、c分别表示相应的卖方期权与买方期权的价格，pv[t]〔x〕表示将来t时x的金额的现值。将（１１）式代入上述平价公式，整理后得到：

（附图 {图}） （１４）

从该式中可看出，决定其价格的基本因素与买方期权一样，但变化方向不尽相同。期权的协定价格、剩余有效期限以及基础商品价格的离散度与卖方期权的价格存在正向关系，而基础商品市场价格与无风险利率和卖方期权价格之间则是反向关系。

（三）对布－肖模型的检验、批评与发展

布－肖模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展布－肖模型的角度出发，对之进行了扩展。

１９７７年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布－肖模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)、奇拉斯(chiras)、曼纳斯特(manuster)、麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：１．模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。２．对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。３．对临近到期日的期权的估价存在较大误差。４．离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布－肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。

对布－肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布－肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：

首先，对股价分布的假设。布－肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿(merton)、考克斯(cox)、罗宾斯坦(robinstein)以及罗斯(ross)等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。

其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：１．投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；２．股票的可分性受具体情况制约；３．频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布－肖模型并未考虑到这一点。

再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者（包括布莱克本人）曾想扩展布－肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。

此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息(d)的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布－肖模型即可。若是美国买方期权，情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限、股息调整后的执行价格(x-d)替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。

除上述对股息因素的考虑外，对布－肖模型的另一项主要扩展即是把它推广到利率期权、外汇期权以及期货期权等的定价当中，因篇幅有限，不再赘述。

二、二项分布期权定价模型

针对布－肖模型股价波动假设过严，未考虑股息派发的影响等问题，考克斯、罗斯以及罗宾斯坦等人提出了二项分布期权定价模型(binomial option pricing model-bopm)，又称考克斯－罗斯－罗宾斯坦模型〔（１）ｅ〕。

该模型假设：

第一，股价生成的过程是几何随机游走过程(geometric random walk)，股票价格服从二项分布。与布－肖模型一样，在bopm模型中，股价的波动彼此独立且具有同样的分布，但这种分布是二项分布，而非对数正态分布。也就是说，把期权的有效期分成n个相等的区间，在每一个区间结束时，股价将上浮或下跌一定的量，从而：

（附图 {图}）

令snj代表第n个区间后的股价，其间假定股价上浮了j次，下跌了(n-j)次，则：

（附图 {图}）

第二，风险中立(risk-neutral economy)。由于连续交易机会的存在，期权的价格与投资者的风险偏好无关，它之所以等于某一个值，是因为偏离这一数值产生了套利机会，市场力量将使之回到原先的水平。

（一）单区间情况下买方期权的定价

假设股票现价为s[0]，一个区间后买方期权到期，那时股价或者上升为s[11]或者下降为s[10]即，：

（附图 {图}）

根据风险中立的假设，任何一种资产都应当具有相同的期望收益率，否则就会发生套利行为。也就是说此时无风险债券、股票及买方期权的将来价值满足如下关系：

（附图 {图}）

上式中，q表示的是股票价格上涨的概率，因而期权的价格乃相当于其预期价格的贴现值。

（二）多区间情况下的买方期权定价

上述分析可以进一步推广到n个区间的买方期权价格的确定。首先，需计算出买方期权价格的预期值，假设在n个区间里，在股价上涨k次前，买方期权仍然是减值期权，内在价值仍为０，而k次到n次之间，它具有内在价值，则：

（附图 {图}）

（附图 {图}）

（三）派发股息时买方期权的定价

先前的分析没有考虑股息的存在，假定某种股票每股在t时将派发一定量的股息，股息因子为f，除息日与付息日相同，则在除息日股价将会下降相当于股息的金额fs[t]。

（附图 {图}）

对于美式期权，则需考虑提前执行的情况：

在t时若提前执行，其价格等于内在的价值；不执行，则可按前面的推导得到相应的价格。最终t时的价格应当是提前执行与不提前执行情况下的最大者。即：

（附图 {图}）

（四）卖方期权的定价

根据欧洲期权的平价关系，可直接从其买方期权导出卖方期权价格，而美国期权则不能。利用上述推导美国买方期权价格的方法，可以同样得到：

（附图 {图}）

这就是美国卖方期权的定价公式。从上述bopm模型的推演中可看出其主要特点：

１．影响期权价格的变量主要有基础商品的市价(s)，期权协定价格(x)，无风险利率(r)，股价上升与下降的因子(u,d)，以及股息因子(f)及除息次数。事实上u与d描述的是股价的离散度，因而与布－肖模型相比，bopm所考虑的主要因素与前者基本相同，但因为增加了有关股息的讨论，因而在派发股息的期权及美国期权的定价方面，具有优势。

２．根据二项分布的特点，bopm模型中只要对u与d及p作出适当的界定，它就可以回答跳动情况下的期权的定价问题。这是布－肖模型所不能够的。同时，当n达到一定规模后，二项分布趋向于正态分布，只要u、d及p的选择正确，bopm模型会逼近布－肖模型。

与布－肖模型一样，二项分布定价模型也被推广到外汇、利率、期货等的期权定价上，受到理论界与实业界的高度重视。

三、对西方期权定价理论的评价

以布莱克－肖莱斯模型和bopm模型为代表的西方期权定价理论，是伴随着期权交易，特别是场内期权交易的扩大与发展而逐渐丰富与成熟起来的。这些理论基本上是以期权交易的实践为背景，并直接服务于这种实践，具有一定的科学价值与借鉴意义。

首先，模型将影响期权价格的因素归纳为基础商品价格、协定价格、期权有效期、基础商品价格离散度以及无风险利率和股息等，并认为期权价格是这些因素的函数，即：

c或p=(s,x,t,σ,γ,d)

在此基础上得到了计算期权价格的公式，具有较高的可操作性。比如在布－肖模型中，s、x及t都可以直接得到，γ亦可以通过相同期限的国库券收益率而求出，因而运用该模型进行估价，只需求出相应的σ值即基础商品的价格离散度即可。实践中，σ值既可通过对历史价格的分析得到，亦可假定未行使的期权的市场价格即为均衡价格，将相应变量代入求得（此时称为隐含的离散度implicit volatility）。因而操作起来比较方便。同时，这种概括是基于期权的内在特点，把它放在统一的资本市场考虑的结果。其分析触及到了期权价格的实质，力图揭示期权价格“应当是”多少，而不是“可能是”多少的问题，因而比早期的计量定价模型向前迈了一大步。

其次，模型具有较强的实践性，对期权交易有一定的指导作用。布－肖模型以及二项分布模型都被编制成了计算机软件，成为投资者分析期权市场的一种有效工具。金融界也根据模型编制成现成的期权价格计算表，使用方便，一目了然，方便了投资者。正如罗伯特·海尔等所编著的《债券期权交易与投资》一书所言：“（布－肖）模型已被证明在基本假设满足的前提下是十分准确的，已成为期权交易中的一种标准工具。”具体来讲，这些模型在实践中的运用主要体现于两方面：１．指导交易。投资者可以借助模型发现市场定价过高或过低的期权，买进定价过低期权，卖出定价过高期权，从中获利。同时，还可依据其评估，制定相应的期权交易策略。此外，从模型中还可以得到一些有益的参数，比如得耳他值（△），反映的是基础商品价格变动一单位所引起的期权价格的变化，这是调整期权头寸进行保值的一个十分有用的指标。此外还有γ值（衡量△值变动的敏感性指标）；q值（基础商品价格不变前提下，期权价格对于时间变动的敏感度或弹性大小），值（利率每变动一个百分点所引起的期权价格的变化）等。这些参数对于资产组合的管理与期权策略的调整，具有重要参考价值。２．研究市场行为。可以利用定价模型对市场效率的高低进行考察，这对于深化期权市场的研究也具有一定意义。

第三，期权定价理论对于其他金融创新工具，特别是认股权或可转换公司债券的定价分析具有一定的借鉴意义。布莱克与肖莱斯的一大贡献就是把期权与相应的基础商品市场结合起来进行分析。在一定程度上借鉴了资本市场的定价理论来构建期权定价的模型。这种思路对于从事金融工具定价研究的学者来说，应当是富有启发意义的。

当然，上述西方期权定价理论仍然存在不少问题，有前面的论述中，笔者详细介绍了西方学者所提出的一些批评。总体来看，这些批评确实指出了模型存在的主要问题。二项分布模型虽然是对布－肖模型的发展之作，但后者所面临的许多问题仍然没有解决。比如风险中立的问题。如果连续交易的前提不能满足，风险中立假设便不确切的，而现实中确实很难保证随时调整期权的头寸状况。再比如资本市场完善的假设，即使在资本流动越来越容易的今天，也仍难以实现。诸如此类问题的解决，仍是需要待以时日的。尽管如此，迄今为止仍未出现一种崭新的能取代布－肖模型或二项分布模型的新理论，许多修正之作也或因变量过多计算复杂，或因变量估价困难而难以得到普遍的认同。因此，布－肖模型与二项分布模型仍不失为颇有价值的定价模式，值得进一步加以研究。